Organista e clavicembalista, studiò con suo fratello Thomas e con il maestro Geminiani.

Prese l'incarico dopo Thomas Shuttleworth come organista della St Michael,  a Cornhill, verso il 1730, ma poi si dimise nel 1736 per succedere a John Weldon alla Saint Martin's -in-the-Fields.

Il suo tocco alla tastiera estemporaneo, con i suoi voli, fantasie ed esecuzioni si adattarono allo strumento, ma non era stato ritenuto un compositore eccelso da Georg Friedrich Handel, anche se la fuga di quest'ultimo era bella.

Handel stesso, tra gli altri musicisti, aveva frequentato la Chiesa di San Martino per ascoltare le sue fantastiche esecuzioni.

Kelway era molto stimato anche come cembalista. Tra i suoi allievi vi erano Charles Wesley, la signorina Delany e la Regina Charlotte, la quale lo nominò maestro di cembalo al suo arrivo in Inghilterra nel 1761.

La signora Pendarves (Delany, quella delle lettere) scrisse nel 1736 ad Ann Granville: "Mio fratello finalmente mi ha persuaso ad imparare da Kellaway; lui ha pagato il prezzo di ingresso che è due ghinee, e mi ha fatto come regalo il libro delle Lesons di Handel. Non trovo il metodo di Kellaway per nulla difficile".

Ann Granville chiede alla signora Throckmorton, nell'agosto 1739: "Hai sentito il signor Kellaway su clavicembalo? Egli è a Scarborough e un suonatore molto delizioso, molto poco inferiore a Handel."

Egli interpretò brillantemente le sonate più difficili  di Scarlatti ed fu descritto da Burney come la 'testa della setta Scarlatti'.

John Christian Bach successivamente introdusse un nuovo stile, il pianoforte divenne alla moda e la 'setta' musicale di Kelway non sopravvisse al cambiamento nel gusto del pubblico.

Kelway morì nel 1782 e la sua volontà (firmata 14 aprile 1779 ed approvata il 5 giugno 1782) fu perseguita dal suo pronipote William Kelway, e da quattro pronipoti, una delle quali era Elizabeth, moglie di John Stafford Smith.

A lei e a Ann Heather lasciò il suo clavicembalo ("costruito da Petrus Joannes Couchet"), il suo violino Cremona e tutti i suoi strumenti e libri di musica.

Aveva dato il suo ritratto di Geminiani e il suo proprio ritratto alla sua "domestica fedele" Ann Phillips, alla quale inoltre fu concesso l'uso durante la sua vita della sua casa in King's Row fila del re, Upper Grosvenor Street e suoi beni per la casa.

Robert Heather, carrozziere e John Stafford Smith furono gli esecutori.

La collezione di musica fu venduta nel 1782, tranne alcuni minuetti di Corte.
L'unica pubblicazione di Kelway sono le "Six Sonatas for the Harpsichord" del 1764.